¡Hay que animarse más a participar! Visto que no ha habido respuestas a mis dos enigmas propuestos, voy a daros la solución a cada uno de ellos.
El primero, era escribir un número, escribirlo otra vez y entonces dividir por 7, por 11 y por 13 y ver que daba el mismo número. El "fenómeno" que se producía era, simplemente, que escribir un número de tres cifras dos veces seguidas es lo mismo que multiplicarlo por 1001. Y si os fijáis, 7x11x13=1001, así que tiene que dar lo mismo porque estamos multiplicando y dividiendo por el mismo número.
En cuanto a la demostración de que 2=3, hay un paso de la demostración que es erróneo, y es cuando tenemos a(1+a-b)=b(1+a-b). Si os fijáis, 1+a-b=1+2-3=0. Y al "cancelar" en los dos lados, lo que estamos haciendo es dividir 0 entre 0, cosa que, obviamente, no se puede hacer, porque sino, da cualquier cosa. Bueno, este era complicado, pero ya podéis ver que el argumento era falso, así que no os preocupéis porque aquello de "no hay dos sin tres" es sólo un dicho.
Sunday, January 21, 2007
Thursday, January 11, 2007
Paradoja matemática
A raíz de una cuestión que me ha preguntado un amigo, os propongo una paradoja matemática, a ver si encontráis donde está el "truco" (por cierto, todavía tardaré una semana en publicar la solución al truco de magia)
Nos dicen que a=2, b=3. Esto significa, claro está, que: a=b-1
Si multiplicamos por (a-b), obtenemos esta expresión: (a-b)a=(a-b)(b-1)
Resolvemos los productos (en la izquierda, se multiplica cada término de la resta por a, y en la derecha, se tiene que multiplicar cada sumando por los otros dos, así): a^2-ab=ab-a-b^2+b(Nota: "^" es para indicar "elevado a", o sea, que es a al cuadrado y b al cuadrado).
Pasando al otro lado, nos queda: a+a^2-ab=b+ab-b^2
Tomamos factor común a cada lado respecto a y b: a(1+a-b)=b(1+a-b)
Como tenemos el mismo factor a los dos lados, los cancelamos, y: a=b
Es decir, 2=3!!!!!!!
Alguien me puede explicar por qué pasa esto?
Nos dicen que a=2, b=3. Esto significa, claro está, que: a=b-1
Si multiplicamos por (a-b), obtenemos esta expresión: (a-b)a=(a-b)(b-1)
Resolvemos los productos (en la izquierda, se multiplica cada término de la resta por a, y en la derecha, se tiene que multiplicar cada sumando por los otros dos, así): a^2-ab=ab-a-b^2+b(Nota: "^" es para indicar "elevado a", o sea, que es a al cuadrado y b al cuadrado).
Pasando al otro lado, nos queda: a+a^2-ab=b+ab-b^2
Tomamos factor común a cada lado respecto a y b: a(1+a-b)=b(1+a-b)
Como tenemos el mismo factor a los dos lados, los cancelamos, y: a=b
Es decir, 2=3!!!!!!!
Alguien me puede explicar por qué pasa esto?
Tuesday, January 09, 2007
Truco de magia
Estoy tan activo estos días, que hasta actualizo el Ábaco. Voy a haceros un truco de magia. A algunos de los que me leéis no os conozco. A otros sí. Pero no sé si leeréis esto. En cualquier caso, seáis quien seáis, quiero que penséis un número de tres cifras, sin limitación alguna: puede tener ceros, puede ser capicúa, lo que queráis. Por ejemplo, yo cogeré el 473.
Una vez hecho, lo escribís otra vez al lado, así: 473473.
Y ahora, dividimos por 7. Existe una regla para saber si un número es divisible por 7. Un día hablaremos de los criterios de divisibilidad. Bueno, para saber si un número es divisible por 7, agrupamos las cifras en grupos de tres números, y vamos cambiando el signo a cada sumando de forma alterna, es decir: 473-473=0. Como 0 es múltiplo de 7, podremos dividir: 473473/7=67639. Qué casualidad, da exacto!
Ahora, dividiremos por 11. Si recordáis del cole, se puede dividir por 11 si, sumamos las cifras de los lugares impares, sumamos las cifras de los lugares pares y hacemos la diferencia, nos da 0, 11 o múltiplo de 11. Oséase: 6+6+9=21, 7+3=10, 21-10=11. Por tanto, podemos dividir por 11 sin miedo: 67639/11=6149.
Y ahora, dividiremos por 13. Para el 13 la regla es como la del 7: 149-6=143 que es divisible por 13. Así, que dividimos 6149/13, ¿y qué nos da? ¡Nuestro número original! 473 es la solución. ¿Y esto por qué? Desvelaré el truco en unos días. ¡Comentarios abajo!
Una vez hecho, lo escribís otra vez al lado, así: 473473.
Y ahora, dividimos por 7. Existe una regla para saber si un número es divisible por 7. Un día hablaremos de los criterios de divisibilidad. Bueno, para saber si un número es divisible por 7, agrupamos las cifras en grupos de tres números, y vamos cambiando el signo a cada sumando de forma alterna, es decir: 473-473=0. Como 0 es múltiplo de 7, podremos dividir: 473473/7=67639. Qué casualidad, da exacto!
Ahora, dividiremos por 11. Si recordáis del cole, se puede dividir por 11 si, sumamos las cifras de los lugares impares, sumamos las cifras de los lugares pares y hacemos la diferencia, nos da 0, 11 o múltiplo de 11. Oséase: 6+6+9=21, 7+3=10, 21-10=11. Por tanto, podemos dividir por 11 sin miedo: 67639/11=6149.
Y ahora, dividiremos por 13. Para el 13 la regla es como la del 7: 149-6=143 que es divisible por 13. Así, que dividimos 6149/13, ¿y qué nos da? ¡Nuestro número original! 473 es la solución. ¿Y esto por qué? Desvelaré el truco en unos días. ¡Comentarios abajo!
Friday, September 29, 2006
142857, ese número misterioso
Hay números que son interesantes, otros no tanto. Tenemos un número muy pero que muy curioso, es el 142857. Es lo que llaman un número cíclico, es decir, un número que si lo multiplicas da un número con las mismas cifras pero cambiadas de orden. El siguiente número cíclico (142857 es el más pequeño), tiene ¡16 cifras! Veamos las curiosidades del 142857. La primera, es la que comentaba:
1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142
Pero no sólo eso, porque si lo multiplicamos por 7:
7 x 142857 = 999999
Y no sólo eso, porque 142 + 857 = 999
¿Y con las divisiones? Pues también es divertido:
1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 142857... número periódico con periodo 142857.
2/7 = 0,285714 285714 285714 285714 285714...
3/7 = 0,428571 428571 428571 428571 428571...
... y sigue, ¡Vaya locura!
Más cosas: si lo multiplicamos por si mismo:
142857 * 142857 = 20.408.122.449
y 20.408 + 122.149 = 142.857 !!!
Hay muchísimos resultados más, que lo dejo ya como investigación personal. Un número realmente diabólico.
1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142
Pero no sólo eso, porque si lo multiplicamos por 7:
7 x 142857 = 999999
Y no sólo eso, porque 142 + 857 = 999
¿Y con las divisiones? Pues también es divertido:
1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 142857... número periódico con periodo 142857.
2/7 = 0,285714 285714 285714 285714 285714...
3/7 = 0,428571 428571 428571 428571 428571...
... y sigue, ¡Vaya locura!
Más cosas: si lo multiplicamos por si mismo:
142857 * 142857 = 20.408.122.449
y 20.408 + 122.149 = 142.857 !!!
Hay muchísimos resultados más, que lo dejo ya como investigación personal. Un número realmente diabólico.
Thursday, September 28, 2006
La Ley de Titius-Bode
Hoy toca hablar de astronomía, otra de mis pasiones. Y voy a hablar de una curiosidad científica, o matemática, como le queráis llamar. Y es sobre la distribución de los planetas. En el año 1766 el astrónomo Johann Daniel Titius descubrió una curiosa ley matemática que relaciona las distancias de cada planeta respecto al Sol. En 1772 se atribuyó dicha ley Johann Elert Bode, director del Observatorio de Berlín.
Para entender lo que vendrá a continuación, primero necesitamos conocer un concepto, que es el de Unidad Astronómica. Se usó esta unidad de distancia para definir la distancia de la Tierra al Sol, 150 millones de kilómetros. Por lo tanto, tenemos que:
1 Unidad Astronómica (UA) = 150.000.000 km.
Luego, cogemos para el primer planeta el número 0, y para el segundo 3. A partir de aquí, para el siguiente ponemos el doble del anterior. De aquí nos sale la siguiente progresión:
0,3,6,12,24,48,96,192,384,768...
Después de esto, sumamos 4 a todos los términos de la serie:
4,7,10,16,28,52,100,196,388,772...
Y una vez hecho esto, dividimos por 10:
0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6, 38.8, 77.2, ...
Y llegaron a la conclusión de que esto era la distancia de cada planeta al Sol en UA. De hecho, comparado con la distancia real, tenemos la siguiente tabla (en cursiva la distancia según Titius-Bode, entre paréntesis la distancia real).
Mercurio: 0.4 (0.42)
Venus: 0.7 (0.72)
La Tierra: 1 (1)
Marte: 1.6 (1.52)
Cinturón de asteroides: 2.8 (2.77)
Júpiter: 5.2 (5.2)
Saturno: 10 (9.54)
Urano: 19.6 (19.2)
Neptuno: 38.8 (30.06)
Plutón: 77.2 (39.44)
Los cálculos, como veis, son bastante acertados hasta Neptuno, donde ya cambian un poco. El caso de Plutón, ahora que lo dejarán de considerar planeta, pues tampoco nos preocupará demasiado. La pregunta es: ¿habrá otro planeta a 77.2 UA? Esto del décimo planeta es un poco como lo del eslabón perdido de la evolución del hombre, que cada cierto tiempo se descubre otro planeta más.
Esto mismo se ha aplicado a ciertos sistemas de satélites, como en el caso de Júpiter y otros, y usan fórmulas mucho más enrevesadas. Pero esta, por su sencillez, es realmente asombrosa.
Wednesday, September 27, 2006
El Problema del cumpleaños
Si usted es profesor, haga esta apuesta con sus alumnos. Apuéstese 10 euros a que en la clase hay dos personas que cumplen años el mismo día. Si lo hace sólo con una clase, quizá no gane la apuesta; si en cambio lo hace con un curso entero (suponiendo 30 alumnos por clase, y tres clases), considere los 10 euros como suyos. A este problema se lo conoce como la Paradoja del Cumpleaños (paradoja porque el resultado es muy distinto a lo que la intuición nos dice). Da la impresión de que la probabilidad tenga que ser muy baja.
Vamos a suponer que un año tiene 365 días, es decir, no es bisiesto. En vez de calcular la probabilidad de que NO haya dos personas que cumplan años el mismo día. Para ello, cogemos una persona cualquiera de este grupo (le llamaremos Ana). Ana cumple años en el día D, da igual cual sea, lo importante es que es un día de este año, uno entre 365.
Cogemos otro alumno, Blas. ¿Cuál es la probabilidad de que Blas y Ana cumplan años el mismo día? Pues una entre 365. Por lo tanto, la probabilidad de que NO cumplan años el mismo día es de 364 entre 365. Cogemos otra persona, César por ejemplo. Ahora hay que ver que César no cumpla años el mismo día que ni Blas ni Ana, es decir, que quedan 363 entre 365. El siguiente, Daniel, tendría 362 días entre 365 posibles. Así iríamos haciendo, y al final tendríamos algo así como:
Este montón de fracciones multiplicadas son, precisamente, el cálculo de la probabilidad de que todas las condiciones anteriores se cumplan, donde n sería el número de gente que hay. De forma simplificada, sería así:
Para los no iniciados, cuando ponemos un número con un signo de admiración, como 4! es todos los números multiplicados hasta este. Por ejemplo 4!=1·2·3·4. Por cierto, la probabilidad está calculada sobre 1, o sea que 100% sería 1 y 0% sería 0 (¡recordad que p es la probabilidad de que perdamos la apuesta!). Ahora sólo queda sustituir la n por el número de gente que queramos y:
Para 2 personas, la probabilidad de que cumplan años el mismo día es de 0,2739%. Poquita, casi casualidad.
Para 10 personas, ya asciende a un 11,69 %. Una de cada diez veces nos llevaríamos los 10 euros.
Para 20 personas ya nos plantamos en un 41,14%. ¡Sólo 20 personas! Desde luego esto rompe toda intuición.
El umbral del 50% lo superamos en las 23 personas, así que entonces ya ganaríamos más que perderíamos.
Si se hace en una clase de 30 personas, 7 de cada 10 veces ganaría la apuesta.
Para 40 personas, se roza el 90%, con un 89,123%
Para 50 personas ya tenemos un 97% de probabilidades, en el caso de 60 (dos clases), nos plantamos ya en un 99,4%. Si lo hacemos en 100 personas, la probabilidad es de un 99,99996928%. Evidentemente, la probabilidad no llega al 100% hasta que tenemos más personas que días, es decir 366.
Ojo, muy distinto es que alguien cumpla años el mismo día que tú. Para eso la probabilidad sí que es mucho más baja, y de hecho haría falta una n grande para ganar la apuesta.
Vamos a suponer que un año tiene 365 días, es decir, no es bisiesto. En vez de calcular la probabilidad de que NO haya dos personas que cumplan años el mismo día. Para ello, cogemos una persona cualquiera de este grupo (le llamaremos Ana). Ana cumple años en el día D, da igual cual sea, lo importante es que es un día de este año, uno entre 365.
Cogemos otro alumno, Blas. ¿Cuál es la probabilidad de que Blas y Ana cumplan años el mismo día? Pues una entre 365. Por lo tanto, la probabilidad de que NO cumplan años el mismo día es de 364 entre 365. Cogemos otra persona, César por ejemplo. Ahora hay que ver que César no cumpla años el mismo día que ni Blas ni Ana, es decir, que quedan 363 entre 365. El siguiente, Daniel, tendría 362 días entre 365 posibles. Así iríamos haciendo, y al final tendríamos algo así como:
Este montón de fracciones multiplicadas son, precisamente, el cálculo de la probabilidad de que todas las condiciones anteriores se cumplan, donde n sería el número de gente que hay. De forma simplificada, sería así:
Para los no iniciados, cuando ponemos un número con un signo de admiración, como 4! es todos los números multiplicados hasta este. Por ejemplo 4!=1·2·3·4. Por cierto, la probabilidad está calculada sobre 1, o sea que 100% sería 1 y 0% sería 0 (¡recordad que p es la probabilidad de que perdamos la apuesta!). Ahora sólo queda sustituir la n por el número de gente que queramos y:
Para 2 personas, la probabilidad de que cumplan años el mismo día es de 0,2739%. Poquita, casi casualidad.
Para 10 personas, ya asciende a un 11,69 %. Una de cada diez veces nos llevaríamos los 10 euros.
Para 20 personas ya nos plantamos en un 41,14%. ¡Sólo 20 personas! Desde luego esto rompe toda intuición.
El umbral del 50% lo superamos en las 23 personas, así que entonces ya ganaríamos más que perderíamos.
Si se hace en una clase de 30 personas, 7 de cada 10 veces ganaría la apuesta.
Para 40 personas, se roza el 90%, con un 89,123%
Para 50 personas ya tenemos un 97% de probabilidades, en el caso de 60 (dos clases), nos plantamos ya en un 99,4%. Si lo hacemos en 100 personas, la probabilidad es de un 99,99996928%. Evidentemente, la probabilidad no llega al 100% hasta que tenemos más personas que días, es decir 366.
Ojo, muy distinto es que alguien cumpla años el mismo día que tú. Para eso la probabilidad sí que es mucho más baja, y de hecho haría falta una n grande para ganar la apuesta.
Nuevo blog
Esto de los blogs cada vez me empieza a gustar más. ¿Y este de qué va? Pues de matemáticas, y de otras curiosidades relacionadas, principalmente, con la ciencia (todo puede ser que algún día hable de historia o cosas así).
Mi intención es divertir a todos y, sobretodo, ver si puedo conseguir que las matemáticas sean algo que le guste un poquito más a la gente y no lo vean sólo como un pesado trabajo. Habrá problemas, habrá curiosidades, habrá enigmas, habrá historias, habrá referencias al cine, a los libros, a los videojuegos, a los monumentos. Busco que no sólo vosotros, sino también yo, aprendamos un poco más del mundo que nos rodea.
Así pues, os emplazo a que vayáis leyéndome.
Mi intención es divertir a todos y, sobretodo, ver si puedo conseguir que las matemáticas sean algo que le guste un poquito más a la gente y no lo vean sólo como un pesado trabajo. Habrá problemas, habrá curiosidades, habrá enigmas, habrá historias, habrá referencias al cine, a los libros, a los videojuegos, a los monumentos. Busco que no sólo vosotros, sino también yo, aprendamos un poco más del mundo que nos rodea.
Así pues, os emplazo a que vayáis leyéndome.
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